Konjugat
Konjugatet till ett komplext tal
$$z=a+bi$$
är
$$\overline{z}=a-bi$$
Eftersom \(i^2=-1\) får vi med konjugatregeln att
$$z \cdot \overline{z} = (a+bi)\cdot (a-bi)={a}^{2}+{b}^2$$
Ett tals konjugat används bland annat vid division av komplexa tal genom att förlänga bråket med nämnarens konjugat för att få ett reellt tal i nämnaren.
Läs mer om konjugat på Matteboken.se
\[ \frac{6 - 4\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} \]
\[ \begin{align*} \frac{6 - 4\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} &= \frac{(6 - 4\mathrm{i})(1 - \mathrm{i})}{(1 + \mathrm{i})(1 - \mathrm{i})} \\ &= \frac{6 - 4\mathrm{i} - 6\mathrm{i} + 4\mathrm{i}^2}{1^2 - \mathrm{i}^2} \\ &= \frac{6 - 10\mathrm{i} - 4}{1 + 1} \\ &= \frac{2 - 10\mathrm{i}}{2} \\ &= 1 - 5\mathrm{i}. \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \frac{6 - 4\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} &= \frac{(6 - 4\mathrm{i})(1 - \mathrm{i})}{(1 + \mathrm{i})(1 - \mathrm{i})} \\ &= \frac{6 - 4\mathrm{i} - 6\mathrm{i} + 4\mathrm{i}^2}{1^2 - \mathrm{i}^2} \\ &= \frac{6 - 10\mathrm{i} - 4}{1 + 1} \\ &= \frac{2 - 10\mathrm{i}}{2} \\ &= 1 - 5\mathrm{i}. \end{align*} \]