Allmänna gravitationslagen

Planetbanorna runt solen är nästan cirkulära (elliptiska). Vi gör en approximation så att planetbanorna beräkningsmässigt blir cirkulära. En planet med massan m rör sig i en cirkulär rörelse runt solen med omloppstiden \(T\) och radien \(r\).

Enligt Newtons tredje lag påverkar solen och planeten varandra med lika stora motriktade krafter. För kraftresultanten \(F\) som verkar på planeten mot solsystemets centrum gäller $$F = m \cdot a_c = m\cdot \frac{4\pi^2 r}{T^2}$$ För att uttrycka kraften som funktion av \(m\) och \(r\) blir enligt Keplers tredje lag $$\frac{r^3}{T^2}=K\; \text{(konstant)} \Rightarrow T^2 = \frac{r^3}{K}$$ som insättes i formeln för \(F\) ovan, som ger $$F = \frac{4m\pi^2K}{r^2}$$

Kraften \(F\) är proportionell mot planetens och solens massor. Konstanten \(K\) bör därför kunna skrivas \(k \cdot M\) vilket för himlakroppar ger $$F = 4\pi^2k \cdot \frac{Mm}{r^2} = G \cdot \frac{Mm}{r^2}$$ där \(G\) benämns gravitationskonstanten \(=6,67 \cdot 10^{-11} Nm^2/kg\)

\(M =\) himlakroppens massa (kg)
\(m =\) planetens massa (kg)
\(r =\) planetbanans radie mellan tyngdpunkterna (m)

Slutligen får vi den allmänna gravitationslagen som gäller för alla kroppar $$F = G\, \frac{Mm}{r^2}$$ i formeln förutsätts avståndet \(r\), som är avståndet mellan kropparnas tyngdpunkter, vara mycket större än kropparnas utbredning.
Gravitationskraften från en sfär (t.ex. jorden) är densamma som om dess massa vore koncentrerad till sfärens centrum. Tyngdkraften från en massa m på jordens yta blir $$F = G\, \frac{Mm}{r_0^2}$$

där
\(M =\) jordens massa (kg)
\(r_0^2 =\) jordradien (m)
\(m =\) massan av föremål på jordytan