Kinetisk gasteori

Tryck förklaras av den kinetiska teorin som att det uppstår av gasmoleyler som krockar med en behållares väggar.

Om vi har en gas med \(N\) molekyler, varje molekyl med massa \(m\) instängda i en behållare med volym \(V\). Antag att en gasmolekyl kolliderar (elastisk kollision) med en vägg på behållaren som är lodrät (Vinkelrätt mot x-axeln) och därefter studsar iväg i motsatt riktning och med samma hastighet.

Med dessa förutsättningar kan man härleda en ekvation för trycket mot väggen. När en molekyl kolliderar elastiskt med en vägg kommer den att byta riktning, men hastigheten förblir densamma. Vi antar att väggarna är vinkelräta mot x-axeln, så vi fokuserar på kollisioner i den riktningen. Molekylens hastighet i x-riktningen är \(v_x\), och dess rörelsemängd är: $$p_x=mv_x$$ När molekylen kolliderar med väggen kommer rörelsemängden att ändras med \(2mv_x\) (eftersom den studsar tillbaka).

Låt oss rita en 3D-container med en molekyl och använda oss av den grundläggande ekvationen för hastighet \(v=\frac{d}{t}\).

Kraften mot väggen, \(F\)

Vid varje kollision överför molekylen en förändring i rörelsemängd till väggen. För varje kollision kommer förändringen i rörelsemängd att vara \(2mv_x\) (eftersom hastigheten ändras med \(v_x\)​ i motsatt riktning). Tiden för en gasmolekyl att resa mellan höger- och vänsterväggen är \(\Delta t = \frac{2x}{v_x}\). Om vi ersätter \(\Delta t\) i impulsekvationen \(F = \frac{\Delta p}{\Delta t}\), får vi $$F = \frac{2mv_x}{t} = \frac{2mv_x}{\left(\frac{2x}{v_x}\right)} = \frac{mv_x^2}{x}$$

Trycket mot väggen, \(p\)

Trycket p på väggen är lika med kraften per enhetsarea, dvs: $$p = \frac{F}{A}$$ där \(A\) är arean av väggen, \(A = yz\) enligt bilden ovan. $$p = \frac{\frac{mv_x^2}{x}}{xz} = \frac{mv_x^2}{xyz}$$ Vi vet att volymen är \(V=xyz\) $$p = \frac{mv_x^2}{V}$$ Eftersom hastighetskomponenterna i de tre riktningarna (\(x, y\; \text{och}\; z\)) är lika fördelade, rör sig ca \(\frac{1}{3}\) av molekylerna i x-riktningen. Därför måste vi multiplicera trycket med \(\frac{1}{3}\). $$p = \frac{1}{3}\frac{mv^2}{V}$$ Detta är trycket som en enda molekyl av gas utövar. Om vi har
𝑁 molekyler av gas måste vi multiplicera trycket med N. $$p = \frac{1}{3}\frac{Nmv^2}{V}$$ Nu multiplicerar vi båda leden med \(V\) för att få den slutgiltiga formeln. $$pV = \frac{1}{3}Nmv^2$$