Binomialkoefficienter - Identiter

Låt k och n vara sådant att \( 0\le k\le n \), då gäller följande:

Symmetriegenskaper

\[ {n\choose k} = {n\choose n-k} \]

Summan av alla koefficienter

\[ \sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n \]

Pascals identitet \[ {n \choose k} = {n - 1\choose k - 1} + {n - 1\choose k} \]

Specialfall

\[ {n\choose 0}={n\choose n} =1,\quad {n\choose 1}={n\choose n-1} =n \]

\[ \sum_{k = 0}^{n} (-1)^k {n\choose k} = 0, \text{ där } n > 0.  \]

\[ \sum_{k = 0}^{n}  {k \choose m } = {n + 1\choose m + 1}  \]

\[ \sum_{k = 0}^{n}  {m + k - 1 \choose k }   = {n + m \choose n }  \]

\[ \sum_{k = 0}^{n}  {\alpha  \choose k } {\beta  \choose n - k } = {\alpha + \beta   \choose n }  \]